Konkursy matematyczne

Przedstawiam tu zadania z konkursów matematycznych, odbywających się na terenie dawnego województwa ostrołęckiego oraz te, które udało mi się zebrać z konkursów województwa mazowieckiego.

2004/2005

etap szkolny

Zadanie 1.
Ile różnych trójkolorowych flag, takich jak na rysunku, można narysować mając do dyspozycji 5 kolorów?

Zadanie 2.
dany jest trójkąt równoramienny ABC (AB = AC), w którym <BAC = 70°. Na półprostej BA odłożono odcinek BD taki, że BD = 2BA. Oblicz miary kątów wewnętrznych w trójkącie BDC.

Zadanie 3.
Z pudełka, w którym było cztery razy więcej kul białych niż czerwonych, wyjęto cztery kule białe i cztery kule czerwone. Wówczas zostało siedem razy wiecej kul białych niż czerwonych. Ile było kul każdego koloru początkowo w pudełku?

Zadanie 4.
Pewną liczbę naturalną c podzielono przez 90 i otrzymano resztę 56. Oblicz resztę z dzielenia liczby c przez 15.

Zadanie 5.
Do sklepiku sprowadzono nowy towar. W poniedziałek sprzedano 15% tego towaru, a we wtorek 40% jego reszty. Oblicz, ile procent sprowadzonego towaru pozostało w sklepie.

Zadanie 6.
Wiedząc, że , oblicz

Zadanie 7.
Sześciokąt foremny ma pole P. Napisz wzór, zgodnie z którym obliczysz promień okręgu opisanego na tym sześciokącie?

Zadanie 8.
W pewnym sklepie z zabawkami w czasie promocji trwającej tydzień, zakupy zrobiło 14300 klientów. Co 55 klient otrzymywał w nagrodę piłkę i co 65 maskotkę. Ilu klientów otrzymało obie nagrody?

Zadanie 9.
Wiadomo, że -1<c<0. Uporzadkuj w kolejności niemalejącej liczby:

Zadanie 10.
Ile razy od godziny 12:01 do godziny 23:59 pokryją się wskazówki (minutowa i godzinowa) zegara?

etap rejonowy

Zadanie 1.
Trzy panie Ala, Basia i Celina pracują w jednym pokoju. Każda z nich kupuje co pewien czas słoik kawy za 23,50 zł. Pani Ala zużywa kawę w ciągu 3 miesięcy, pani Basia w ciągu czterech miesięcy, a pani Celina w ciągu pięciu miesięcy. Pewnego dnia panie postanowiły kupić wspólnie słoik kawy za 23,50 zł. Oblicz, ile powinna zapłacić każda z nich, aby poniesione koszty odpowiadały ilości kawy zużywanej przez każdą z nich.

Zadanie 2.
Która z liczb jest większa: 1*2*3*...*2004, czy 1000¹⁰⁰⁰? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 3.
W koło o środku O wpisano trapez równoramienny ABCD, który nie jest równoległobokiem (AB jest równoległy do CD). Przekątna AC trapezu ma długość d, kąt COB ma miarę 90^o. Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 4.
Przyjmujemy, że zapis abc oznacza liczbę 100a + 10b + c, a zapis abcabc oznacza liczbę 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c. Liczba x spełnia warunek . Uzasadnij, że 2x jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.

Zadanie 5.
Do dwóch okręgów o promieniach 2 i 9 poprowadzono wspólną styczną. Odległość środków tych okręgów jest równa 22. Oblicz długość odcinka stycznej, którego końcami są punkty styczności. Rozważ 2 przypadki.

2003/2004

etap szkolny

Zadanie 1.
Dzisiaj Wojtek obchodzi szesnaste urodziny. W jakim dniu tygodnia urodził się Wojtek? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 2.
W barze są do wyboru: 4 zupy, 5 drugich dań i 3 desery. Ile różnych zestawów obiadowych złożonych z zupy, drugiego dania i deseru można zamówić w tym barze? (Za różne u ważamy te zestawy, które różnią się przynajmniej jednym daniem)

Zadanie 3.
Narysuj kąt ostry wpisany oparty na łuku AB, gdzie punkty A i B są końcami cięciwy równej promieniowi danego okręgu. Oblicz, ile stopni ma ten kąt wpisany.

Zadanie 4.
Ile boków ma wielokąt foremny, którego każdy z kątów wewnętrznych ma miarę 172°?

Zadanie 5.
W półkole o promieniu r wpisano kwadrat tak, że jeden bok kwadratu zawart jest w średnicy, a pozostałe wierzchołki należą do półokręgu wyznaczającego to półkole. Oblicz pole tego kwadratu.

Zadanie 6.
Pociąg o długości 70 m przejeżdża przez tunel z prędkością 60km/h. Od momentu, w którym lokomotywa wjeżdża do tunelu, do chwili, w której koniec ostatniego wagonu opuszcza tunel, upływa 36 s. Oblicz długość tunelu.

Zadanie 7.
Wyznacz wszystkie wartości t, dla których funkcja liniowa f, określona wzorem f(x) = 4t - 2t(x + 1) - 3x dla x R jest funkcją rosnącą.

Zadanie 8.
W prostokącie ABCD bok AB jest 2 razy dłuższy niż bok BC. Punkt E jest takim punktem, że trójkąt ABE jest równoboczny oraz boki AE i BE przezcinają odcinek CD, a punkt M jest środkiem boku EB. Oblicz miarę kąta BMC.

Zadanie 9.
Samochód przebył drogę 615 km z miasta A do miasta B przy średnim zużyciu paliwa 6,5 l/100km. Z miasta B wyruszył do miasta C. Odległość z A przez B do C wynosi 1213 km, a średnie zużycie paliwa na tej trasie wyniosło 6,1 l/100km. Oblicz, ile litrów paliwa zużyto w czasie przejazdu z B do C.

Zadanie 10. Pewna liczba nieparzysta przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2. Oblicz resztę z dzielenia tej liczby przez 6.

etap rejonowy

Zadanie 1.
W trzech beczkach: czarnej, białej i zielonej było w sumie 64,8 l wody. Zawartość zielonej beczki przelano do dwóch pozostałych tak, że w czarnej beczce ilość wody podwoiła się, a w białej wzrosła o 20%. Następnie wyrównano ilości wody w obu beczkach, przelewjąc 10% zawartości czarnej beczki do beczki białej. Oblicz, ile litrów wody było początkowo w każdej z trzech beczek.

Zadanie 2.
W trójkącie ABC dwusieczne kątów wewnętrznych przecinają się w punkcie M. Przez punkt M poprowadzono proste równoległe do prostych zawierających odcinki AB i AC, które przecinają bok BC w punktach D i E. Udowodnij, że obwód trójkąta MDE jest równy długości odcinka BC.

Zadanie 3.
Dany jest kwadrat ABCD. Punkt P jest środkiem boku AB, punkt Q jest środkiem boku BC, punkt R jest środkiem boku DC i punkt S jest środkiem boku AD. Udowodnij, że proste AR, BS, CP i DQ wyznaczają kwadrat, którego pole jest równe 1/5 pola kwadratu ABCD.

Zadanie 4.
Wykaż, że jeżeli m jest liczbą całkowitą nieparzystą, to liczba m⁴ - 1 jest podzielna przez 16.

Zadanie 5.
Dodatnie liczby naturalne k oraz n, takie że k < n spełniają warunek NWW (k,n) = 8*NWD(k,n). Udowodnij, że 8k = n.

etap wojewódzki

Zadanie 1.
Jeżeli pewną liczbę n podzielimy przez 7, to otrzymamy iloraz x i resztę t. Jeżeli tę samą liczbę podzielimy przez 11, to otrzymamy iloraz o 7 mniejszy od x i resztę o 5 wiekszą od t. Znajdź wszystkie liczby n, które mają tę własność.

Zadanie 2.
Trzy jednakowe "duże" słoiki wstawiono do garnka tak, by były styczne do siebie i do ścian garnka. Ile razy mniejsza powinna być średnica "małego" słoika, aby do tego samego garnka można było wstawić cztery słoiki.

Zadanie 3.
W prostokącie jeden z boków skrócono, a drugi wydłużono o x%, gdzie x jest liczbą pierwszą. W wyniku tego pole prostokąta zmniejszyło się o mniej niż 2%. Wyznacz wszystkie liczby x spełniające warunki zadania.

Zadanie 4.
Dany jest kąt ostry o wierzchołku w punkcie O. Na jednym ramieniu kąta zaznaczono kolejno różne punkty: A, B, C, D tak, że OA = AB = BC = CD, a na drugim ramieniu zaznaczono kolejno różne punkty E, F, G, tak, że OE = EF = FG. Oblicz pole czworokąta BDGF, jeżeli wiadomo, że pole trójkąta OAE jest równe 10.

Zadanie 5.
Dany jest trójkąt ABC, taki że <ACB = 90°. Przez punkt C, prostopadle do płaszczyzny trójkąta poprowadzono prostą. Na tej prostej wybrano punkt D, taki że CD = 12. Wiedząc, że odległości punktów A i B od punktu D są równe AD=13, DB = 15, oblicz objętość bryły o wierzchołkach A, B, C, D.

2002/2003

etap szkolny

Zadanie 1.
Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności:

˝x+7˝>5

Zadanie 2.
W pewnym kraju liczba zarejestrowanych pojazdów tak sie powiekszyła, że nie ma już możliwości stworzenia kolejnych numerów rejestracyjnych. Postanowiono rozszerzyć istniejący już numer rejestracyjny dodając do numeru jeden znak. Rozstrzygnij i uzasadnij swoje zdanie, czy więcej możliwości numerów otrzymamy dodając jedną cyfrę, czy literę alfabetu łacińskiego (od A do Z).

Zadanie 3.
W półkole o średnicy 6 cm wpisano prostokąt tak, że bok y tego prostokąta zawiera się w średnicy, a pozostałe dwa wierzchołki należą do półokręgu. Zapisz wzór wyrażający długość y boku tego prostokąta w zależności od długości boku x.

Zadanie 4.
O ile procent należy obniżyć cenę towaru, którą podwyższono wcześniej o 12%, aby cena była taka sama jak przed podwyżką?

Zadanie 5.
W dowolnym trapezie ABCD (AB równoległy do CD) punkt E, który jest środkiem boku AD połączono odcinkami z wierzchołkami B i C. Udowodnij, że pole trójkąta EBC jest równe połowie pola danego trapezu.

Zadanie 6.
Dla jakich wartości m z odcinków o długościach: 2m + 2, m + 8, 3m + 1 można zbudować trójkąt równoramienny?

Zadanie 7.
Udowodnij, że jest liczbą naturalną.

Zadanie 8.
Przy dzieleniu liczb naturalnych: a, b, c przez 5 otrzymujemy odpowiednio reszty 1, 2, 3. Oblicz resztę z dzielenia sumy kwadratów tych liczb przez 5.

Zadanie 9.
Łódka poruszająca się ze stałą prędkością pokonuje odcinek rzeki od przystani A do przystani B płynąc z prądem w czasie 2 godzin, a pod prąd w czasie 3 godzin. Oblicz stosunek prędkości łódki do prędkości prądu rzeki.

Zadanie 10.
Średnia temperatura w pierwszych dwudziestu dniach września wynosiła 23°C i była o 4°C wyższa od średniej temperatury września w ubiegłym roku. Jaka powinna być średnia temperatura w pozostałych dniach września, aby średnia temperatura tego miesiąca była taka, jak w poprzednim roku?

2001/2002

etap szkolny

Zadanie 1.
Liczbę 5797 przedstaw w postaci sumy dwóch składników tak, aby jeden ze składników miał w rzędzie jedności zero i aby po skreśleniu tego zera otrzymać drugi składnik.

Zadanie 2.
Do dwóch okręgów o środkach w punktach O₁ i O₂, stycznych zewnętrznie w punkcie A, poprowadzono wspólną styczną BC (gdzie B i C są punktami styczności, A jest różny od punktów B i C). Wykaż, że <BAC jest prosty.

Zadanie 3.
Udowodnij, że jeżeli liczba naturalna n>12 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, a przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1, to reszta z dzielenia tej liczby przez 12 jest równa 5.

Zadanie 4.
z kwadratu odcięto 4 przystające trójkąty prostokątne tak, że powstał ośmiokąt o równych bokach. Oblicz stosunek pola powstałego ośmiokąta do pola kwadratu.

Zadanie 5.
Ania i Marcin są uczniami klasy III c.
Marcin mówi: Mam w klasie dwa razy więcej kolegów niż koleżanek.
Ania mówi: Mam w klasie o 14 więcej kolegów niż koleżanek.
Ilu chłopców, a ile dziewczynek jest w klasie III c?